Claude算出九圈散射振幅全解析：从杨-米尔斯理论、自举法、对跖对偶到素数域验算，一次讲透AI做前沿物理计算的真实能力与边界

本文由 莫潇羽@无忆研习社（www.wuyi.wiki）撰写，转载请注明出处。

快速摘要

2026年9月25日，Anthropic 正式发布研究博客，公开了一项理论物理计算（配套的九圈结果数据页面，页面底部落款日期为9月16日）：Claude（Fable 5.1 模型，跑在 Claude Science 科研工作台上）在几乎没有人工指导的情况下，连续工作数天，算出了"平面 N=4 超对称杨-米尔斯理论"中六胶子 MHV 散射振幅的九圈结果。此前这一振幅的公开纪录是2023年发表的八圈。Claude 用两条互相独立的路线各算一遍：一条是在六边形函数空间里直接"自举"，一条是先算更简单的三点形状因子、再借"对跖对偶"翻译回振幅，两边在十万多个系数上逐一吻合。八圈结果的主要完成者、美国 SLAC 国家加速器实验室的一位资深教授花了约两周独立核验，确认结果成立。按普通用户价格估算，单条路线的花费在一两千美元量级，其中纯计算部分约100美元，相当于96个 CPU 跑一周。几乎同一时间，中国科学院理论物理研究所的一个研究团队也在9月17日公开了二到九圈的振幅符号数据，他们用 AI 辅助了部分约束计算，整体框架由人完成。

我的判断是：这件事真正的分量不在"AI 超过了人"，而在于一个流程极其脆弱、容错极低的前沿计算，第一次被模型端到端地、可验证地做完了；它用的全是人类已经发展好的方法，没有提出新物理。

下面我会从"九圈到底难在哪"讲起，把自举法、符号字母表、对跖对偶这些概念用白话拆开，再用我自己跑的一个缩小版实验演示"素数域求解 + 有理数重构"是怎么回事，最后聊聊这件事的边界，以及普通科研人和技术爱好者能从中学到什么。

想看完整拆解，往下翻。

一、先把题目看懂：九圈振幅是个什么量级的活

这两天我在无忆研习社的读者群里看到不少人转这条新闻，标题一个比一个吓人。可真要问一句"九圈是什么、为什么难"，大多数转发的朋友其实答不上来。我自己是做技术内容出身的，物理只能算半路出家的爱好者，所以这一章我尽量用最朴素的语言，把题目本身讲清楚。题目看不懂，后面所有的"厉害"都是空的。

1.1 散射振幅：粒子对撞的"概率说明书"

先解释一个词：散射振幅。

白话说，两个粒子迎面撞上，撞完以后会飞出什么、往哪个方向飞、各带多少能量，都不是确定的，只能给出概率。散射振幅就是算这个概率用的那个数学表达式，把它取绝对值再平方，就得到某种结果出现的可能性。大型强子对撞机每天记录海量碰撞事件，物理学家就是拿理论算出来的振幅，去和实验测到的分布对照。对得上，说明理论没问题；对不上，就可能意味着有新东西，比如暗物质的线索，或者正反物质不对称的解释。

所以振幅算得越准，实验能"抓出"新物理的灵敏度就越高。这是整个领域的原动力。

1.2 "圈"是什么，为什么每加一圈就难一截

振幅没法一口气精确算出来，物理学家用的是"逐级修正"的思路：先算最粗糙的近似，再一层一层往上叠加修正项。每一层修正，在费曼图里表现为图中多出一个闭合的圈，所以行话里叫"一圈""两圈""三圈"。

你可以把它想成算一个无限级数：

振幅 = 树图（最粗近似）
     + g² × 一圈修正
     + g⁴ × 两圈修正
     + g⁶ × 三圈修正
     + ……

这里的 g 是耦合常数，衡量相互作用有多强。在本文讨论的理论里，常用的约定是 g² = λ/(16π²)，λ 叫 't Hooft 耦合。g 越小，高阶项贡献越小，所以只要往后多算几圈，结果就越来越逼近真值。

麻烦在于代价。每多一圈，需要处理的数学对象数量不是线性增加，而是指数级甚至阶乘级膨胀。这次出题的是一位转行做科普写作的前理论物理学家，他在自己的物理博客上明确写过这一点。落到现实中，情况大致是这样：

数据来源：Anthropic 官方研究博客原文，写稿时的公开情况。

看这张表你就明白了，九圈这个数字放在真实世界里几乎是天方夜谭，它只可能出现在一个极其"整齐"的理论里。

1.3 杨-米尔斯理论：现代粒子物理的地基

标题里的"杨-米尔斯"，指的是杨振宁先生和罗伯特·米尔斯在1954年提出的规范场理论框架。它有多重要？自然界四种基本相互作用里，电磁力、强相互作用（把原子核里的质子中子粘在一起的力）、弱相互作用（引起放射性衰变的力），三种都是用杨-米尔斯型理论描述的。说它是标准模型的骨架一点也不为过。

作为中国读者，看到这个名字多少会有点亲切感。不过得说句实在话：这次计算用的并不是描述真实世界的那个杨-米尔斯理论，而是它的一个"超对称加强版"。

1.4 为什么偏偏挑 N=4 这个"玩具理论"

超对称是一种假想的对称性：它设想每种粒子都有一个"超伴子"，电荷相同，但自旋类型不同，把物质粒子和传递力的粒子配成对。N=1 的超对称曾经被寄予厚望，被认为可能解释暗物质。而 N=4 意味着每个粒子有四个超伴子，粒子种类多到离谱，显然不是我们这个宇宙。

那为什么大家还爱用它？原因反直觉：粒子太多，彼此抵消得太干净，计算反而变简单了。它有很多额外对称性，比如所谓的"对偶共形不变性"（可以理解为在动量空间里也有一种缩放、旋转不变的规律），这些对称性把答案可能长成的样子大大收窄。

平面是另一个限定，意思是只考虑色荷数目趋于无穷大时占主导的那部分费曼图，画出来能平铺在纸面上不交叉。这一步又砍掉了一大块复杂度。

所以这个领域的研究者（圈内自嘲叫 amplitudeologist，"振幅学家"）把平面 N=4 理论当作试验场：新方法先在这里压力测试，看能推多远，再想办法移植到真实的量子色动力学里去。九圈，就是这块试验场上的一个新标杆。

1.5 六胶子振幅这条线，人类走了多少年

我查了一下这条研究线的公开论文，按时间顺序整理成下面这张图，方便大家对"八圈"和"九圈"有个时间感：

timeline
    title 平面 N=4 六胶子 MHV 振幅的圈数推进（公开论文）
    2008 : 两圈结果（与 Wilson 圈对偶的检验）
    2011 : 三圈，自举法首次用于六边形振幅
    2016 : 五圈
    2019 : 六圈、七圈
    2022 : 三点形状因子推到八圈，对跖对偶正式发表
    2023 : 借对跖对偶得到振幅八圈
    2026 : 九圈（Claude 与中科院理论物理所团队几乎同期）

从三圈到八圈，一个国际合作圈子用了大约十二年。每前进一圈，都伴随着新的约束条件被发现、新的数学结构被理解。这也是为什么大多数业内人士原本以为，第九圈要么得靠一种全新的思路，要么得砸下远超学术预算的算力。

结果两样都没用上。这就是这次事件最耐人寻味的地方，后面我会反复回到这一点。

二、这道题的门道：自举法其实是一门"先列候选、再逐条排除"的手艺

我第一次读到"bootstrap"这个词在振幅领域的用法时，也是一头雾水。这个词本义是"提着自己的鞋带把自己拎起来"，引申为"不依赖外部输入、靠自身约束把答案逼出来"。放在这里，意思是：不去算那成千上万个费曼图，而是先猜答案"长什么样"，再用各种物理要求把错误的可能性逐一删掉。

打个我自己觉得更贴切的比方：这像刑侦里的排除法。嫌疑人名单先拉得很长，然后拿不在场证明、监控记录、证人口供一条条去核，最后名单上只剩一个人。更关键的是，侦探手里最好还剩几条没用上的线索，拿来反过来检验这个结论，确认没冤枉人。

自举法就是这么干的。下面拆成三块来讲：候选名单怎么拉、排除规则有哪些、为什么还需要"对跖对偶"这个外援。

2.1 候选名单：符号、字母表与"权重"

平面 N=4 理论里这类振幅有个很漂亮的性质：它们可以写成一类叫"多重对数"的特殊函数的组合。多重对数你可以理解为普通对数 ln(x) 的高阶推广，层层嵌套积分得到。

处理这类函数，物理学家有一个很好用的工具叫符号（symbol）。它把一个复杂函数"拆"成一串串有序的"字母"组成的"单词"，每个单词前面配一个系数。比如一个权重为 3 的函数，它的符号可能长这样：

S[f] = 2·(a ⊗ b ⊗ c) − 1/2·(b ⊗ b ⊗ a) + ……
        ↑单词          ↑单词

这里有几个术语，我用白话过一遍：

• 字母（letter）：由粒子动量拼出来的一小组基本变量。六胶子振幅用到的字母表一共只有 9 个字母，这是经过多年研究确认的。
• 单词（word）：若干字母按顺序排成的一串，⊗ 可以读作"接着"。
• 权重（weight）：单词的长度。L 圈振幅对应的权重是 2L，所以九圈就是长度 18 的单词。

这就引出了第一个震撼的数字。9 个字母、每个位置随便挑，长度 18 的单词一共有多少种？

9¹⁸ = 150,094,635,296,999,121 ≈ 1.5 × 10¹⁷

这个数我是用 Python 直接算出来的。一千五百亿亿个候选单词，每个都要确定一个系数，显然不可能硬来。自举法的全部功夫，就在于用物理约束把这个天文数字压到计算机能处理的规模。

2.2 排除规则：物理要求如何一刀一刀砍候选

这些年研究者积累了一整套"答案必须满足的条件"。我把公开论文里常见的几类整理成表，并尽量用人话说明它们在干什么：

这张表里的条件，有的是几十年前的老物理（比如 Steinmann 关系，最早出自上世纪六十年代），有的是近十年在这条研究线上逐步发现的。你会发现一个规律：每发现一个新约束，就能多往上推一两圈。这也解释了为什么这条研究线的进展是一阶一阶的，而不是连续的。

用流程图来表示自举法的整体套路，大概是这样：

flowchart TD
    A[确定字母表<br/>9 个字母] --> B[列出所有可能的单词<br/>长度 = 2 × 圈数]
    B --> C[用第一项、Steinmann 等<br/>结构性约束构造"函数空间"]
    C --> D[写出候选答案<br/>= 函数空间里的线性组合<br/>系数全部未知]
    D --> E[代入物理约束<br/>得到一个超大线性方程组]
    E --> F{解是否唯一?}
    F -- 否 --> G[引入更多外部数据<br/>如近共线展开]
    G --> E
    F -- 是 --> H[用剩余未使用的约束<br/>做交叉检验]
    H --> I[输出 L 圈振幅]

这里有个概念需要单独说一下，就是图里的函数空间。它是一个"候选答案的集合"：满足结构性约束的所有函数，彼此可以线性叠加。空间维度越低，说明约束越紧，未知系数越少。比如这次公开数据里提到，满足扩展 Steinmann 条件的六边形符号空间，到权重 13 时维度是 5431。也就是说，在那一层上，只需要确定几千个独立方向，而不是天文数字般的单词个数。这种"从 10¹⁷ 压到几千"的压缩，正是这门手艺的精髓。

2.3 为什么还需要"对跖对偶"这个外援

2021年底，八圈结果背后的那个国际合作团队在比对两类计算结果时，注意到一个怪现象：六胶子振幅和另一个叫"三点形状因子"的物理量，在某个特殊的运动学曲面上，数字几乎一样，只是单词的字母顺序是倒过来的。

先解释形状因子（form factor）：它可以理解为一种"半个振幅"，描述的是一个复合算符（这里是应力张量多重态里的一个成员）变成几个粒子的过程。在同样的圈数下，它比六胶子振幅简单不少，所以能先算到更高圈。

再解释对跖映射（antipode）：在多重对数的数学结构里，这个操作在符号层面的效果，就是把每个单词前后颠倒。名字借用了地理上的"对跖点"，也就是地球上正对面的那一点。

这个对应关系后来被称为对跖对偶。Quanta 杂志2022年报道时提到，它已经在九千三百万项的规模上得到验证。至于它为什么成立，到现在也没有人能从第一性原理解释清楚。这件事本身就很迷人：一个没人理解的对称性，被实打实地当成了计算工具。

它的实用价值在于：

第 1 步：先用自举法算出 L 圈"三点形状因子"（相对容易）
第 2 步：把形状因子的每个单词倒过来读，再做一个简单的变量替换
第 3 步：得到 L 圈六胶子振幅在"Δ = 0 曲面"上的完整信息
第 4 步：把振幅从这个曲面"抬"到一般运动学，剩余少量自由度用其他约束定死

这里的 Δ = 0 曲面，是运动学空间里一个"宇称保持"的特殊切面，可以想成一张大地图上的一条特殊公路，对偶关系只在这条公路上成立。2023年，这个团队就是沿着这四步拿到了八圈振幅。

说到这里，整道题的地形图就画完了。有两条路可以通向九圈：一条是硬着头皮在六边形函数空间里直接自举，业内普遍觉得太重；另一条是沿用2023年的形状因子加对跖对偶路线再推一圈，这个团队自己这两年就在朝这个方向努力，还准备借助他们自训练的 transformer 小模型来预测高圈结构。

而 Claude 的做法是：两条路都走了一遍，而且都走通了。

三、复盘 Claude 的计算过程：一道题，两条路，互相对账

弄懂了地形，再来看 Claude 是怎么走的。这一章我主要依据三份一手公开材料：Anthropic 研究博客上由出题人撰写的长文（含核验教授的附记）、Anthropic 研究员公开的完整结果与验证记录页面，以及中科院理论物理所团队在 Zenodo 上发布的数据集说明。凡是具体数字，我都会标明出处；本章涉及的成本、时间与项数等数据，均可在 Anthropic 官方博客原文或上述结果页面中查到。

3.1 起因：一次"有预算上限"的公开挑战

2026年8月7日，这位出题人在自己的博客上发了一篇文章，大意是：AI 在数学上的进展他看到了，但数学靠的是灵感，灵感难不难找只有找到了才知道；他更想看的是一类"计算上难"的问题，也就是方法大家都知道、但普遍认为算力和时间不够、所以没人做得动的问题。他给出了两个具体目标：N=8 超引力推到七圈，或者 N=4 超对称杨-米尔斯推到九圈。关键附加条件是：只能用一个普通学者负担得起的计算资源。

这个"预算上限"的设定我特别欣赏。它把问题从"谁的机房大"拉回到了"谁更会组织计算"。一个月不到，Anthropic 内部的两位物理学家就联系了他。

3.2 工作方式：一句话题目，加上一句"继续"

根据出题人在官方博客中的描述，两位研究员先问了 Claude 一句：这几个挑战里你最有把握做哪个？然后只给了一个很短的题目描述，大意就是"计算平面 N=4 SYM 中六粒子（六边形）振幅的九圈结果"。之后的主要"指导"，就是在下班或睡觉前告诉它：接下来几个小时我不在，你继续干，每隔四到六个小时汇报一次进展。

跑这个任务的环境是 Anthropic 推出的科研工作台 Claude Science。它不是一个新模型，而是套在大模型外面的一层工程外壳，行话叫 harness，核心能力包括持久化的计算内核、可追溯的代码与运行记录，以及把作业提交到集群并调度管理的能力。这类境外服务的使用需遵守国内网络与内容管理相关规定，我这里只做科普层面的介绍。

我自己的体会是，这次成功的一半功劳属于这层工程外壳。一个语言模型本身再聪明，连续工作几天、管理几十 GB 的中间文件、在出错后自己回滚重来，这些都得靠外壳提供的"记忆"和"纪律"。

3.3 路线 A：在六边形函数空间里直接自举

第一条路就是业内原本觉得"太重"的那条：不借助形状因子，直接在六边形函数空间里把九圈符号解出来。

根据 Anthropic 官方博客原文中的数据，这条路线是用 Python 加开源符号计算库 SymPy 完成的，纯计算开销约100美元，相当于 96 个 CPU 连续跑一周。这里有个细节值得玩味：该领域的前辈们习惯用 Maple 或 Mathematica 这类商业符号计算软件。出题人自己也坦言，Claude 可能部分得益于换了工具链、采用了更好的软件工程习惯，但他并不认为这算"超级智能"式的突破。

公开结果页面的描述是：这条直接自举路线得到的单词系数，是在五个不同素数下分别计算、再重构成精确分数，然后用第六个素数做了额外核对。素数计算是怎么回事，我在第四章会用自己跑的实验演示。

这条路线的最终产出，是按照八圈团队早年约定的格式整理的"七重余积"文件（结果页面上的原文名称是 septuple coproducts，即把长度 18 的单词切成一个权重 11 的函数加上后面 7 个单独字母）。余积（coproduct）这个词解释一下：它是把一个长单词从某个位置切开，前半段打包成一个已知的低权重函数、后半段逐字母列出的表示方法。这样既能完整定义结果，又不用把天文数字般的单词逐个写出来。九圈这份文件解压后约 232MB。

3.4 路线 B：先算形状因子，再"翻"成振幅

第二条路是沿着2023年八圈的思路再往上推一圈。公开结果页面上对流程的描述很具体，我按自己的理解整理如下：

flowchart LR
    A[九圈三点形状因子<br/>自举求解] -->|三个 31 位素数下<br/>验证为精确有理数| B[形状因子符号<br/>约 2.95 亿项]
    B -->|对跖映射<br/>单词倒序 + 变量替换| C[振幅在 Δ=0 曲面上的符号<br/>完整展开约 300 亿项]
    C -->|抬离 Δ=0 曲面| D[剩余少量自由方向]
    D -->|原点行为 + 双胶子<br/>通量管数据定死| E[九圈振幅符号<br/>424 个五重余积]

图中的几个硬数字，都来自公开结果页面：

• 形状因子符号以 279 个权重为 10 的"八重余积"分量给出，合计 295,186,924 项。
• 映射到振幅一侧、在 Δ=0 曲面上全部展开成长度 18 的单词，非零系数的单词数为 30,024,320,034 个，也就是约 300 亿项。
• 最终振幅符号表示为 424 个五重余积，落在维度 5431 的权重 13 函数空间上，这 424 个分量的秩在两个素数下都是 400。

这里我想特别点一下"抬离曲面"这一步。对跖对偶只在 Δ=0 这条"公路"上成立，要得到振幅在整张"地图"上的样子，还得确定曲面之外的部分。八圈时，这一步最后剩下一个自由方向；九圈时剩下五个方向。Claude 用的是振幅在原点附近的已知行为，外加从有限耦合通量管公式生成的近共线展开数据，把这几个方向全部定死。

这个流程还有一个很重要的"对照实验"：公开页面显示，同一套程序先被拿去重做了八圈，抬升结果与2023年已发表的八圈振幅在 1000 个随机非零单词上逐一比对，全部一致。

先复现已知，再挑战未知，这是任何做数值计算的人都该刻在脑门上的纪律。模型自己也遵守了它。

3.5 两条路的交叉验证

两条路线的结果最后对上了没有？公开页面给的答案是：直接自举得到的七重余积文件，由 107,053 个非零系数完全确定；把这十万多个系数和形状因子路线的五重余积表示逐一比对，全部吻合。其中 3,401 个系数只在两个素数的取模意义下比对（因为五重余积那一侧还有少量系数没能重构成精确分数），其余都是精确有理数的比对。

两套方法，底层逻辑不同，中间文件格式不同，数据路径完全独立，最后十万多个数字一个不差。说实话，读到这里我才真正服气。

我把两条路线的对比整理成一张表，方便收藏：

成本数据来自 Anthropic 官方博客原文，是按普通用户价格估算的，费用大头是模型长时间运行的开销而非 CPU。相关服务的价格变动较快，这里只是写稿时公开报道的量级，请以官方实时定价为准。

3.6 还有一块"函数层"的结果，需要打个问号

很多报道没提到一个细节，我觉得值得说。

上面讲的都是"符号"层面的结果。符号能决定函数的大部分信息，但会丢掉一些和 π、ζ 值（黎曼 ζ 函数在整数点的取值，比如 ζ(3)）相关的项。要得到完整的"函数"，还需要把这部分补回来。公开页面也给出了九圈振幅作为完整函数的定义文件，甚至给出了它在特殊点 (1,1,1) 的数值，约为 6.738 亿，九圈与八圈在该点的比值约为 −14.11。

但页面自己写得很坦率：函数层的结果只算了一次，没有第二个独立计算与之对照；并且它依赖一个额外假设，即符号层面成立的某些关系在函数层面也成立。

我特别喜欢这种写法。它没有把所有结果包装成"同样可靠"，而是清楚标出了哪部分被交叉验证过、哪部分还只是单次计算。会标注自己不确定的地方，是可信计算的标志，这一点无论是人写论文还是模型交付结果，都一样。

四、我自己跑了一个缩小版：素数域求解和有理数重构到底是怎么回事

前面反复出现"在几个素数下计算，再重构成分数"这种说法，很多读者可能第一次见。我自己一开始也只是字面上懂，后来干脆写了个几十行的小脚本跑了一遍，才算真正理解。这一章就把这个实验原样分享出来，你有 Python 环境的话，五分钟就能复现。

4.1 为什么不用小数或精确分数直接算

自举法最终会得到一个超大线性方程组，未知数是那些单词前面的系数，而真实答案的系数都是分数，比如 −105757/65536 这种（这个数字就是公开页面里给出的一个真实九圈系数）。

如果用浮点小数去解，几万、几十万个未知数的消元过程中，舍入误差会一路累积，最后你根本分不清一个 0.0000001 到底是真的零还是误差。如果用精确分数去解，分子分母在消元过程中会膨胀到几百几千位，内存和时间都扛不住。

业内的标准做法是折中：在素数域上算。白话说，就是所有运算都"对一个大素数 p 取余数"。比如 p = 2147483647（这是 2³¹ − 1，一个常用的 31 位素数），那么所有数都落在 0 到 p−1 之间，永远是一个整数，不会有舍入误差，也不会膨胀。除法怎么办？用"模逆元"代替，也就是找一个数 y，使得 x·y 除以 p 余 1。

4.2 我的玩具实验

我设计了一个极简版本：假装真实答案是一个关于 x、y 的四次多项式，系数是几个我事先设好的分数，但在"求解"时假装不知道它们。然后我只提供两类约束：

• 对称性约束：x 和 y 互换后多项式不变（对应自举法里的"对称性"）。
• 边界数据：在十个点上已知多项式的值（对应"其他方法给出的外部数据"）。

未知数一共 15 个（四次以内所有单项式的系数），约束方程 16 条，比未知数多一条，多出来的那条就留着做自检。核心代码如下：

def solve(rows, n, p):  # 在素数 p 下做高斯消元，所有运算取余
    A = [r[:] for r in rows]; rank = 0; pivots = []
    for col in range(n):
        pr = next((k for k in range(rank, len(A)) if A[k][col] % p), None)
        if pr is None:
            continue
        A[rank], A[pr] = A[pr], A[rank]
        inv = pow(A[rank][col], -1, p)          # 模逆元代替除法
        A[rank] = [a * inv % p for a in A[rank]]
        for k in range(len(A)):
            if k != rank and A[k][col]:
                f = A[k][col]
                A[k] = [(a - f * b) % p for a, b in zip(A[k], A[rank])]
        pivots.append(col); rank += 1
    # 多出来的方程如果化简后不是 0 = 0，说明约束之间有矛盾
    conflicts = [r for r in A[rank:] if r[-1] % p]
    return A, pivots, rank, conflicts

跑出来的结果是：

未知数 15，约束方程 16，秩 15
多余可用于自检的方程 1，自检失败数 0

秩等于未知数个数，说明解唯一；多余的一条方程化简后是 0 = 0，说明约束之间没有矛盾。这一步对应的就是核验者所说的"算完还要留几条约束检验自己有没有出错"。

4.3 从余数"变回"分数

在素数 p₁ = 2147483647 下，我拿到的 x²y² 项系数是一个看上去毫无意义的大整数：

x²y² 的系数 mod p₁ = 771751934

怎么知道它其实是 −105/64？这就要用到有理数重构：已知一个分数 a/b 除以大数 M 的余数，只要分子分母都比 √(M/2) 小，就能用扩展欧几里得算法把 a 和 b 唯一地找回来。

单个 31 位素数给的空间有限，分子分母稍大就重构不出来。所以做法是在两个（或更多）不同素数下各算一遍，再用中国剩余定理把两个余数拼成一个模 p₁ × p₂ 的数，空间一下子扩大到 6